正交矩阵怎么求逆

正交矩阵是指满足$Q^T \cdot Q = Q \cdot Q^T = I$的实方阵，其中$Q^T$表示矩阵$Q$的转置矩阵，$I$表示单位矩阵。

给定一个正交矩阵$Q$，我们要求其逆矩阵$Q^{-1}$，即找到一个矩阵$Q^{-1}$满足$Q \cdot Q^{-1} = Q^{-1} \cdot Q = I$。

由于正交矩阵的行（列）是相互正交的且单位长度，所以其逆矩阵是其转置矩阵。即$Q^{-1} = Q^T$。

证明如下：

$(Q \cdot Q^T)_{ij} = \sum\limits_{k=1}^n Q_{ik} \cdot Q^T_{kj} = \sum\limits_{k=1}^n Q_{ik} \cdot Q_{jk}$

根据正交矩阵的定义可知，当$i \neq j$时，$\sum\limits_{k=1}^n Q_{ik} \cdot Q_{jk} = 0$。

当$i = j$时，$\sum\limits_{k=1}^n Q_{ik} \cdot Q_{jk} = \sum\limits_{k=1}^n (Q_{ik})^2 = 1$，根据正交矩阵的定义可知矩阵$Q$的每一行（列）的平方和为1。

因此，$(Q \cdot Q^T)_{ij} = I_{ij}$，即$Q \cdot Q^T = I$。

同理可证$Q^T \cdot Q = I$。

所以，对于正交矩阵$Q$来说，其逆矩阵为$Q^{-1} = Q^T$。

实际上，正交矩阵的逆矩阵就是其转置矩阵。这是因为正交矩阵的列（行）是单位向量，相互正交，所以其转置矩阵的每一列（行）依然是单位向量，且相互正交。同时，转置矩阵与原矩阵的乘积等于单位矩阵（$Q \cdot Q^T = I$），满足逆矩阵的定义。

综上所述，对于给定的正交矩阵$Q$，其逆矩阵$Q^{-1}$等于其转置矩阵$Q^T$。